Düşünün ki bir petri kabında bulunan bakteriler, uygun şartlar altında hızla çoğalıyor. Bir göletteki su zambaklarının sayısı öyle hızlı artıyor ki bir haftada gölet tamamen kaplanıyor. Peki, yaratılıştaki bu muhteşem büyüme sırrının ardında ne var? Aynı şekilde insanın mahiyetinde bulunan bitmek bilmeyen büyüme veya kazanma hissi neden? İşte hem tabiattaki hem insandaki bu sınırsız arzu ve isteklerin arkasındaki sır, “e” sayısında gizlidir.
“e” Sayısı Nedir?
“e” sabitini dolaylı olarak ilk gündeme getiren İskoç matematikçi John Napier olmuştur[1]. Napier, 1618’de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmış, fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek mânâda ilk keşfeden Jakob Bernoulli’yi görüyoruz.[2] Bernoulli, bir bakteri popülasyonunun nasıl büyüdüğünü inceleyerek bu sayıyı keşfetmiştir. Mesela, bir bakteri kolonisi belirli bir süre boyunca bölünerek hızla çoğalır. Eğer bu çoğalmayı sürekli olarak hesaplayıp eklersek, sonunda koloni sayısının ne kadar olacağını hesaplamak için “e” sayısını kullanırız.
Buna mukabil bu bilim adamlarının sıradan bir sabit gibi incelediği bu sayı, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 18. yüzyılın ortalarında detaylı incelenerek, literatüre kazandırılmıştır ve Euler sayısı ya da “e” sabiti olarak bilinmektedir[3]. Matematikte yaklaşık olarak 2.71828 değerine sahip olan bir sabit sayıdır ve aynı pi sayısında olduğu gibi bu sabit de sonsuza kadar uzamakta ve tam olarak hesaplanamamaktadır.
“Euler sayısı” için matematikçi ve fizikçi Richard Feynman “Dünyanın dokuzuncu harikası” ifadesini kullanmıştır. Peki Feynman neden gerçekte pek çok kimsenin bilmediği ve önemsemeyeceği e sayısına bu kadar değer atfetmiştir?
“e” Sayısı Niçin Önemlidir?
Bilindiği üzere matematiğin en bilinen sabiti pi sayısıdır ve kesirli ifadeyle 22/7 olarak bilinir. Pi sayısı, dairenin çevresi ve alanı gibi mühendislik hesapları için Antik Yunan’da yaklaşık olarak hesaplanmıştır. Peki, çoğumuzun günlük hayatta nadiren duyduğu bu az bilinen e sayısı neden veya hangi ihtiyaca binaen bulunmuştur?
Aslında aynı pi sayısında olduğu gibi e sayısının ortaya çıkışında da insanın ihtiyaçları ve kâinatı anlama çabası etkili olmuştur. Mesela eksponansiyel büyümeyi anlamak için şöyle bir örnek verelim: Diyelim ki bir göletteki su zambakları her gün iki katına çıkıyor. İlk gün bir tane zambak varsa, ikinci gün iki tane, üçüncü gün dört tane olur. Bu şekilde devam ederek zambakların sayısı çok hızlı bir şekilde artar. Bu büyüme, eksponansiyel büyüme olarak adlandırılır ve fonksiyonu ile modellenir.
Burada f(x) popülasyon, para, üretim ve kazanç gibi devamlı büyümek isteyen şeyi temsil ederken x ise genel itibarıyla zamanı temsil eder. Bu fonksiyonların en bilinen özelliği, aşağıdaki resimde de görüleceği üzere eksponansiyel büyüme olarak da bilinen büyümeyi, yani son derece az bir değerin, kısa zamanda, son derece hızlı bir şekilde artışını sergilemesidir.
Bu büyümede en çok dikkat çeken husus, büyümenin hızı ile ivmelenmesinin aynı olmasıdır. Mesela eksponansiyel hızla giden bir araç 10 km/h hızla giderken ivmelenmesi de 10 km/h² olmaktadır. Bu hız 50 km/h’ye gelindiğinde de ivmelenme 50 km/h² olmaktadır ki zaten bu yüzden e fonksiyonunun türevi de kendisini vermektedir. Dolayısıyla eksponansiyel fonksiyonlarda, başlangıçtaki küçük bir değer, hıza eşit olan ivmelenmeden ötürü ileride çok hızlı bir şekilde büyüyecektir.
“e” sayısını günlük hayatta birçok yerde görürüz. Mesela:
- Ekonomi: Yenilikçi bir ürün veya hizmet sunan teknoloji odaklı şirketlerin hızla büyümesini modellemek için kullanılır. Yeni kurulan bir teknoloji şirketinin kısa sürede büyük bir başarıya ulaşması, eksponansiyel büyümenin bir örneğidir.
- Tıp: Hastalıkların yayılmasını ve aşıların tesirini hesaplamak için kullanılır. Özellikle pandemi dönemlerinde virüsün yayılma hızını ve aşıların faydalı olup olmadığını anlamak için eksponansiyel fonksiyonlar kullanılır.
- Borsa: Yatırımların nasıl katlanarak büyüdüğünü açıklamak için kullanılır. Yatırımcılar, küçük miktarlarda yatırımlarla büyük kazançlar elde etmeyi hedefler ve bu büyüme genellikle eksponansiyel olarak gerçekleşir.
Bu noktada bu fonksiyonlar sadece hızlı büyümeyi değil aynı şekilde hızlı küçülmeyi veya sabit bir değere yaklaşmayı da gösterir. Mesela özellikle ilaç sektöründe hastalıkların sınırlandırılması ve belirli popülasyonu geçememesini sağlayacak şekilde çözümler düşünülür ki onlarda negatif eksponansiyel denklemler kullanılır. Örnek verecek olursak; korona salgınında yetkililer mevcut sağlık sisteminin kapasitesini belirlemiş, ona göre bu virüse yakalanan hastaları bu sınırın altında tutmaya çalışacak bir aşı arayışına girmişlerdir. Mesela bir kasabada koronaya yakalanmış 5000 kişi varsa ve o kasabadaki sağlık merkezlerinin haftalık kapasitesi 10.000 kişi ile sınırlı ise uygulanacak aşı veya diğer tedavi yolları ile hastalığın büyüme ivmesi yavaşlatılarak mümkün olduğu kadar hasta sayısının bu 10.000 sınırının altında tutulması istenecektir. Bu durumda negatif eksponansiyel fonksiyonu rol oynar ve uygulamada aşağıdaki gibi bir tablo çıkması için uğraşılır.
Bu tabloda her birim 1000 kişiyi temsil etmektedir ve görüldüğü gibi burada bir büyüme vardır, ama bu büyümenin ivmesi azaltılarak belli bir değerin (Bu örnek için 10.000) üzerine çıkmaması sağlanır. Bu ve buna benzer tıbbî uygulamalarda e sayısının sıkça kullanıldığını görmek mümkündür. Aynı şekilde, radyoaktif maddelerin yarı ömrü, yani belirli bir süre içinde yarısının bozulması, eksponansiyel azalmaya bir örnektir.
“e” Sayısının Mesajları
Girişte bazı sorular sormuştuk ve bu soruların cevabının e sayısında gizli olabileceğini belirtmiştik. Gerçekten de eksponansiyel fonksiyonlar insanın bu sınırsız isteklerini anlatması açısından çok mânidardır. Aynı eksponansiyel fonksiyonlarda olduğu gibi, yeni doğduğunda sadece süt isteyen veya gaz çıkarmak isteyen bir bebeğin yaşı ilerledikçe gerek ihtiyaç için gerekse konfor için istek ve arzularının eksponansiyel bir şekilde arttığı görülmektedir. Bütün bu ihtiyaçların da insanın iç dünyasına tesir ettiği söylenebilir. Bu durum hem müsbet hem menfi mânâda geçerlidir ve insanın istek ve arzularını ne yöne kanalize edeceği ile yakından alakalıdır.
Mesela, Kur’ân-ı Kerim’de Yâsin sûresinin 77. ve 78. âyetlerinde insanın bir nutfeden yaratıldığı ve yaratılma keyfiyetini unuttuğu beyan buyurulur. Bu unutmanın neticesinde insan, ihtiyaçlarının esiri olur ve hayatı boyunca bu ihtiyaçları karşılamaktan başka gayesi olmaz. Bu durumun yanlış olduğu ve kendisini bekleyen ebedi bir hayatın mevcudiyeti bir peygamber tarafından hatırlatılınca da 78’inci âyet-i kerimede ifade edildiği gibi büyüklenerek “Çürümüş kemikleri kim tekrar diriltecek!” diye Rabb’ine meydan okuma tavrına girer, cahilliğini ortaya koyar. Onu bu sınırsız küstahlığa iten şey ise zaman içinde eksponansiyel bir biçimde artmış olan sınırsız kibridir.
Fakat bu durum müsbet şekilde de karşımıza çıkabilir. Başlangıç itibarıyla bir hastalığın giderilmesi veya bir imtihanda iyi netice alabilmek için küçük istekler ile Rabb’inin kapısını çalan kul, bir iki rekât namaz kılar veya dua eder. Fakat zaman içinde bu küçük istekleri bir kenara bırakıp daha büyük şeylere talip olunca bu sefer daha çok Rabb’ine dönmeye ve daha derin ibadet etmeye başlar. Bu noktada Fethullah Gülen Hocaefendi’nin tâbiri ile sâlih daire oluşmuş, istek ve arzulardaki artış, dua ve ubudiyete tesir etmiştir. Sonraları cennete talip olur ve daha dikkatli ve daha derin yaşamaya başlar. Bu yükseliş kişiyi bir süre sonra Yunus misali konuşturur.
“Cennet cennet dedikleri
Birkaç saray, birkaç huri
İsteyene ver onları
Bana seni gerek seni.”
der ve Cemâlullah’a talip olur. Bu hayır yolundaki sonsuz istekler, eksponansiyel bir yükselişi tetikler.
Matematikte Mânâ Arayışı
Matematik, bize kâinatın işleyişini ve hayatımızın karmaşık yolları arasındaki ilerleyişimizi idrâk adına araçlar sunar. Bu noktada “e” sayısı, matematik hesaplamalar açısından ve günlük hayatta önemli rol oynayan az bilinen bir sabit olmakla beraber, eksponansiyel büyümeyi veya azalmayı modellemek için kullanılır ve birçok alanda pratik uygulamalara sahiptir. Aynı şekilde eksponansiyel fonksiyonlar insanın isteklerinin ve gayretlerinin nasıl hızla büyüdüğünü göstermesi adına önemlidir. Gerek pi sayısı gerek diğer matematik sabiteler ve şimdi gördüğümüz e sayısı gibi rakamlar, kâinatın işleyişinde hiçbir tesadüfün olmadığını, her hadisenin belli bir ilim ve iradenin kontrolünde kendine ait bir formülle yürütüldüğünü göstermektedir. Matematiğin bu derin mânâlarını keşfetmek hem bilimin hem de şahsi hayatımızın gelişmesine katkı sağlar. Dolayısıyla matematiğin dilini öğrenmek, kâinatın sırlarını çözmek için önemli bir adımdır ki “e” sayısı ve diğer matematik sabiteler, bu yolda bize rehberlik eden önemli vasıtalardır. Yeryüzü mirasçıları olarak, bu sırları araştırmak ve çözümünü bulup insanlığa armağan etmek de bizlerin görevi olmalıdır.
E Sayısı nedir
Bu sayı, tabii logaritmanın tabanı olarak kullanılır ve birçok matematik işlemlere ve ilmî araştırmaya önemli katkılarda bulunur.[4]
Bu serinin formülü: şeklindedir ve bu limit aşağıdaki toplama eşittir:
Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir ki bu şu şekilde hesaplanır: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Örneğin 5!=1x2x3x4x5=120 şeklinde hesaplanır.
Dipnotlar
[1] Miller, Jeff. “Earliest Uses of Symbols for Constants”. MacTutor. University of St. Andrews, Scotland. Retrieved 31 October 2023.
[2] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated ed.). Sterling Publishing Company. p. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
[3] Wilson, Robinn (2018). Euler’s Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated ed.). Oxford University Press. p. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9.
[4] Sawyer, W. W. (1961). Mathematician’s Delight. Penguin. p. 155.
[5] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw–Hill. pp. 63–65. ISBN 0-07-054235-X.
